Le modèle d’Ising inspire toujours la recherche en probabilités et en physique
En 2022, Hugo Duminil-Copin a été récompensé par la médaille Fields pour ses travaux sur le modèle d’Ising en dimensions 3 et 4. Bien que le grand public le reconnaisse surtout pour ses recherches en théorie des probabilités, Duminil-Copin souligne le lien entre ces deux domaines. Spécialiste de la percolation, il explique que cette discipline consiste à étudier des graphes aléatoires et leurs propriétés de connectivité, permettant ainsi de modéliser des comportements dans des matériaux poreux.
Le modèle d’Ising, introduit il y a plus d’un siècle par le physicien allemand Wilhelm Lenz et affiné par son doctorant Ernst Ising, représente un aimant comme une collection de petits aimants, appelés spins, qui interagissent et ont tendance à s’aligner. Ce modèle cherche à comprendre si la variation de température peut entraîner une transition de phase, passant d’un matériau aimanté à un matériau non aimanté, une observation déjà notée par Pierre Curie.
Au départ, le modèle d’Ising a déçu. Ising a démontré que sur une ligne, il n’y a jamais d’aimantation, ce qui a conduit à des conclusions pessimistes pour les versions tridimensionnelles de son modèle. Toutefois, le physicien Rudolf Peierls a montré en 1936 que, dans les dimensions 2, 3 et 4, une transition de phase existe à une certaine température, redonnant ainsi vie au modèle d’Ising.
Dans les années 1940, le chimiste théoricien Lars Onsager a prouvé que le modèle d’Ising en deux dimensions permet de calculer la température critique et l’énergie libre. En 1952, Chen Ning Yang a introduit une formule décrivant l’aimantation en fonction de la température, révélant un exposant critique de 1/8, distinct d’un raisonnement en champ moyen.
Alors que le modèle d’Ising est bien compris en dimensions 1 et 2, il reste complexe en dimensions supérieures. En trois dimensions, la perte d’intégrabilité rend les calculs difficiles, tandis qu’en quatre dimensions, le modèle produit des résultats similaires à ceux d’un raisonnement en champ moyen. Cela a été confirmé par Duminil-Copin et Aizenman en 2019, bien que cela soulève des questions sur l’intérêt du modèle.
Duminil-Copin continue de travailler sur le modèle d’Ising, notamment en ce qui concerne la dimension 3, tout en explorant d’autres modèles comme celui d’Anderson, qui examine les propriétés des matériaux isolants. La simplicité du modèle d’Ising en fait un laboratoire pour développer de nouveaux outils mathématiques, reliant la théorie des probabilités à la physique.
Source : Pour la Science
