Croissance et décroissance : enjeux de sobriété pour les secteurs industriels européens
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Niveau 1 : Facile
La discussion sur la croissance, la décroissance et la sobriété est de plus en plus présente dans les débats économiques et écologiques. Ces concepts, souvent utilisés sans définition précise, soulèvent des questions sur leur signification et leurs implications. Comment peut-on modéliser ces notions mathématiquement ?
Introduction
Une vidéo récemment produite illustre ces concepts en présentant une histoire fictive de gorilles se nourrissant de feuilles dans une forêt. Les dynamiques entre la population de gorilles, la disponibilité des feuilles et leur consommation sont explorées, soutenues par des équations mathématiques.
La vidéo est structurée en cinq chapitres :
- Introduction
- Partie 1 : Croissance
- Partie 2 : Décroissance
- Partie 3 : Sobriété
- Conclusion
Croissance, décroissance et sobriété : modélisations mathématiques
Réalisation : Minimento
Production : Minimento, Interstices/Inria
Année de production : 2024
Durée : 10min08
Taux de croissance
La vidéo introduit le concept de taux de croissance, défini par les variations de consommation. Un taux positif indique une croissance, tandis qu’un taux négatif signale une décroissance. En connaissant ce taux à chaque instant, il est possible de calculer la consommation de feuilles au fil du temps. Un taux de croissance constant et positif entraîne une croissance exponentielle, où la consommation augmente rapidement.
La consommation de la ressource naturelle des feuilles augmente continuellement. Pour mer les variations, on utilise la dérivée par rapport au temps de cette consommation. Le taux de croissance est défini par la dérivée en temps divisé par la consommation.
En observant ce taux, on peut calculer la consommation à l’aide d’une équation différentielle :
\( \frac{d \mathit{conso}}{dt} = \mathit{taux} * \mathit{conso}\), avec la condition initiale \( \mathit{conso}(0)\) connue.
Lorsque le taux est constant et positif, la solution est la fonction exponentielle, par définition. On constate que \(\mathit{conso}\) tend vers l’infini lorsque le temps augmente.
Capacité de charge
La quantité de feuilles disponibles est limitée, nécessitant un renouvellement. La consommation ne peut pas croître indéfiniment comme avec une croissance exponentielle. Lorsqu’une limite, appelée capacité de charge, est atteinte, le taux de croissance change.
Décroissance et effondrement
Dans un premier scénario, le taux de croissance peut devenir brutalement négatif après avoir dépassé légèrement la capacité de charge. La consommation décroît alors exponentiellement, s’effondrant rapidement jusqu’à devenir presque nulle.
Dans la vidéo, le taux constant est positif jusqu’au temps \( \mathit{temps}_{\mathit{max}}\) puis devient négatif. À ce moment, la consommation dépasse la capacité de charge. L’équation différentielle à résoudre est :
\[ \frac{d \mathit{conso}}{d t} = – \mathit{taux}_{\mathit{dec}} * \mathit{conso}\] pour \( \mathit{temps} \geq \mathit{temps}_{\mathit{max}}\).
La solution est une fonction exponentielle décroissante, où \(\mathit{conso}\) tend vers zéro lorsque le temps devient infini.
Croissance modérée et sobriété
Dans un second scénario, des actions peuvent modérer la consommation, la maintenant sous la capacité de charge. Le taux de croissance varie en fonction de la consommation, restant positif. La consommation augmente, mais à un rythme ralenti, se stabilisant légèrement en dessous de la capacité de charge.
Historiquement, le mathématicien Verhulst a proposé un modèle logistique en 1845 pour décrire l’évolution d’une population, cherchant à ajuster les paramètres de croissance pour mieux correspondre aux données observées.
La capacité de charge est considérée comme supérieure à la consommation initiale, égale à 1. Le taux de croissance est défini par une fonction :
\[ \mathit{taux}_{\mathit{var}} = \mathit{taux} * (1- \frac{\mathit{conso}}{\mathit{limite}}), \mbox{ avec } \mathit{limite} > 1.\]
Cette équation différentielle est plus complexe à résoudre, impliquant des calculs pour trouver une solution.
Lorsque le temps devient infini, \(\mathit{conso}\) se rapproche de la limite, tout en restant inférieure.
Un point d’inflexion peut être défini par une dérivée seconde nulle, indiquant un changement de signe, calculable par différentes méthodes.
Morale de la fable
Cette fable souligne l’impossibilité d’une croissance exponentielle dans un cadre de ressources finies. Elle illustre les conséquences d’un dépassement des limites imposées par ces ressources. Les équations mathématiques permettent de simuler les interactions au sein d’un écosystème, mettant en évidence le risque d’effondrement si aucune anticipation n’est faite.
En revanche, la sobriété peut aider à maîtriser les effets rétroactifs et à préserver les ressources, favorisant la stabilité du système. Des modèles mathématiques plus complets, tels que World3, ont été développés pour analyser l’évolution d’écosystèmes globaux.
- F. Rechenmann, Les limites de la croissance dans un monde fini, Interstices, 2014.
- Dennis Meadows, Donella Meadows, Jørgen Randers, William W. Behrens III, The limits to Growth (en français Les limites à la croissance ou le Rapport Meadows), accessible en version originale ici, 1ère édition parue en 1972.
- Zoé Steep, Les limites à la croissance – Meadows : questions raisonnées, Éditions Exces, collection Voix publiques, 2023.
- Abel Quentin, Cabane, Éditions de l’observatoire, 2024.
À la mémoire de Soso qui a inspiré la fable des gorilles. Merci aux relectrices et relecteurs scientifiques, et à Martine Olivi en particulier, qui ont été d’une grande aide.
